Toán học là gì? Toán học bắt đầu từ đâu? Việc đếm là vấn đề đầu tiên khi bắt đầu với Toán học. Tuy nhiên, thật không hợp lý khi cho rằng việc đếm là khởi nguồn của nó. Chỉ đến khi có những bản ghi chép về phép đếm được người xưa ghi lại, được lưu giữ và do từ đó, một số biểu diễn số học xuất hiện thì Toán học mới được coi là bắt đầu. Để hiểu một cách sâu sắc về một vấn đề (khái niệm) nào đó, ta cần phải truy vào nguồn gốc ngôn ngữ của vấn đề (khái niệm) đó. Trong tiếng Anh, Toán học được viết bằng từ “mathematics”, từ này có nguồn gốc từ “máthēma” trong tiếng Hy Lạp cổ đại, được hiểu với nghĩa là “thứ học được”, “những gì mà người ta cần biết”. Trong các từ gốc Hán của người Trung Quốc, Toán học có nghĩa là số học. Còn trong tiếng Việt, từ “toán” có nghĩa là tính, từ “học” có nghĩa là nghiên cứu, bài học; “toán học” là một môn (bài) học/ lĩnh vực về tính toán (số học).
Vào thời tiền sử, (có lẽ) trong thời đại Đá giữa, các nhà nghiên cứu khảo cổ học và lịch sử học đã nhận ra nhiều vết tích cho thấy con người lúc này đã hình thành hai ý niệm tổng quát, ý niệm về số lượng và ý niệm về hình dạng. Những nghiên cứu về thời đại này thường chủ yếu dựa trên các phỏng đoán, nhưng đại đa số thường tin rằng ý niệm về số lượng bắt đầu từ việc cố gắng gom nhóm các vật (đối tượng) bằng cách đếm, và dần hình thành các hệ cơ số đếm nguyên thủy. Hệ cơ số đếm nguyên thủy rất đơn giản, thường dùng để diễn tả với ý tưởng về sự phân loại “ít” ví như từ hai đến ba vật, hoặc nhiều hơn thì thường ví như “hàng”, “đống”. Còn ý niệm về hình dạng được thể hiện chủ yếu thông qua các mẫu vật trang trí trang sức, đồ gốm, và các công trình kiến trúc.
Theo nghiên cứu lịch sử ghi lại, từ những năm 2000 trước Công nguyên, Toán học đã phát triển ở Babylonia. Đây hẳn là giai đoạn thứ hai trong quá trình phát triển của Toán học. Trong những hoạt động xã hội lúc này nổi lên nhiều nhu cầu, trong đó nhu cầu về định lượng đã trở nên rộng rãi và thường xuyên đến mức mà đã được phát triển thành những phương pháp tổng quát để tính toán và ghi lại thành những các quy luật và sử dụng để thu được kết quả trong các tình huống tương lai. Trong thời đại này, con người đã phát triển và sử dụng một cách rộng rãi một thệ thống ký hiệu giá trị với cơ số 60 trong một khoảng thời gian dài. Vào khoảng năm 1950 trước Công nguyên, người Babylon đã phát triển thành công một thứ Đại số, nó có khả năng giải những phương trình bậc nhất và bậc hai với hai ẩn số, và cả những phương trình bậc cao dạng đặc biệt. Về Hình học, họ sử dụng những công thức tính diện tích và thể tích rất đơn giản. Một điểm đáng chú ý, nhiều bằng chứng cho thấy họ thường nhận một quy tắc về hình tam giác mà ngày hôm nay chúng ta gọi đó là Định lý Pythagoras, $a^2+b^2=c^2$.
Ở phần còn lại của thế giới - phương Đông, chúng ta có rất ít các ghi chép để hiểu biết về nền Toán học cổ đại của các dân tộc Trung hoa, và Ấn Độ. Theo nghiên cứu, người phương Đông xưa chủ yếu sử dụng lá cây, hay thẻ tre mà ghi lại tri thức và do đó dễ bị thất lạc và hư hại theo nhiều nguyên nhân khác nhau. Theo lịch sử ghi lại, vào những năm 213 trước Công nguyên, vua Tần Thủy Hoàng ra lệnh đốt toàn sách và giết hại tất cả học giả dám chống lại ông ta. Chính những tác nhân từ con người lẫn tự nhiên này khiến cho hậu thế càng khó khăn hơn trong quá trình tìm lại nền văn hóa xa xưa. Một trong số ít những gì còn lưu lại cho đến tận ngày nay có lẽ nổi tiếng nhất chính là “Chu bể Toán kinh”. Bộ sách này là một tư liệu, nó diễn đạt các nghiên cứu về các nguyên tắc hình học sơ cấp, và phương pháp đo lường trong thiên văn học thời xưa thông qua cách hành văn hết sức đơn giản.
Tóm lại, nguồn gốc của Toán học xuất phát sớm từ những nhu cầu cơ bản về định lượng trong đời sống hằng ngày, và nét nổi bật trong giai đoạn khởi đầu này chính là từ tri thức kinh nghiệm, tổng quát thành công thức để dùng trong các trường hợp cụ thể mà chẳng cần quan tâm đến việc chứng minh, giải thích để làm rõ tường tận vấn đề. Hầu hết các kết quả thành công đều xuất phát thử và sai.
Bước qua thời kỳ Công xã Nguyên thủy (CXNT), nhân loại bước vào thời kỳ Chiếm hữu Nô lệ (CHNL). Trong hình thái xã hội này, xã hội đã phân thành giai cấp trong đó giai cấp chủ nô chính là giai cấp bóc lột, còn giai cấp bị bóc lột là nô lệ.
Nhờ được sống trong cuộc sống không bị ràng buộc bởi những yêu cầu sinh tồn tối thiểu và không bị vướng bận về tâm lý lẫn thể xác, giai cấp chủ nô có nhiều điều kiện để xa xỉ thời gian và chiêm nghiệm tri thức. Bên cạnh ba công việc chính, một bộ phận giai cấp chủ nô chọn cách chu du khắp nơi. Bằng những trải nghiệm đó, họ đặt ra nhiều câu hỏi về thế giới này, ví dụ: tại sao vùng đất này lại lạnh, vùng đất kia lại nóng ẩm quanh năm?; tại sao người dân ở vùng đất này có phong tục tập quán khác với những người dân ở vùng đất kia?; … Thế nên, bộ phận này hình thành tư duy nghi ngờ về thế giới này, cố gắng tìm ra câu trả lời cho những câu hỏi tại sao của họ, đồng thời mở ra những câu hỏi mới. Đây chính là nguồn gốc của khoa học, việc xuất hiện con người lao động trí óc; họ biết suy nghĩ, biết nghiền ngẫm, biết đặt vấn đề, biết tìm cách giải quyết vấn đề và mở ra những vấn đề liên đới khác. Chính vào chữ “Tại sao?” đó, lần đầu tiên toán học đã bước vào giai đoạn ba của sự phát triển, một khoa học nghiên cứu theo nhu cầu nội tại của chính mình.
Tên tuổi nổi tiếng đầu tiên phải nhắc đến trong thời đại này chính là Thales, một người thầy có ảnh hưởng sâu sắc đến những “bộ óc” tinh tế nhất của Hy Lạp cổ đại. Nhờ vào việc là một nhà buôn, và những chuyến giao thương với người Babylon đã giúp ông có thể nhiều cơ hội tiếp xúc với nền Toán học ở đây. Thales đã chứng minh sáu mệnh đề cơ bản của hình học, mà sau này chúng ta biết đến với năm tiên đề và một định lý mang tên của ông:
Thales là người khai sinh ra trường phái Ionia, và người nổi tiếng nhất trong trường phái này là Pythagoras (được cho là sống vào 570 – 550 trước Công nguyên). Pythagoras và môn đồ rất tôn thờ ý niệm về Số, về sau này những thành quả của họ đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực lý thuyết số của Toán học. Quan điểm của Pythagoras rất lấy làm quan trọng việc sử dụng các tiên đề và mệnh đề để làm cơ sở cho các lập luận chứng minh. Nhờ đó, ông đã đưa ra cách chứng minh đầu tiên cho định lí về tam giác vuông cho đến nay vẫn còn mang tên ông. Cũng nhờ vào trường phái của ông, những ý tưởng về kiểm tra tính đúng đắn của các khái niệm được hình thành, việc chứng minh một khái niệm sai có thể dẫn đến việc sụp đổ của cả một hệ thống triết lý.
Bên cạnh việc xây dựng các tiên đề, mệnh đề và chứng minh sao cho vừa đúng đắn vừa hợp lý, Zeno xứ Elea lại là người đề xướng ra những nghịch lý mà sau này lại chính là tiền đề cho những hướng nghiên cứu về sự vô hạn, về vi tích phân. Ba nghịch lý mà ông đề xuất bao gồm: nghịch lý Achilles và con rùa; nghịch lý lưỡng phân và nghịch lý mũi tên ba.
Những bậc thầy tư duy có đóng góp lớn cho nền Toán học thời bấy giờ và cho cả người Hy Lạp không thể không nhắc đến Plato và Aristotle. Những phát triển về lĩnh vực logic và các phương pháp tiên đề trong chứng minh của hai ông trở thành nền móng vững chắc cho Toán học hiện nay. Một trong những học trò của Plato mà sau cũng là một học giả lừng danh, Eudoxus, ông có nhiều đóng góp trong sự phát triển lý thuyết tỷ lệ. Phương pháp của ông ứng dụng rất nhiều trong tính toán diện tích và thể tích mà sau này được xây dựng thành lý thuyết về tích phân trong các chương trình Toán trung học phổ thông và Toán cao cấp ngày nay.
Khoảng những năm 300 trước Công nguyên, hoàn cảnh xã hội lúc này đang là cuộc chinh phục thế giới của Alexander Đại đế. Văn minh phương Tây lúc này văn minh của Hy Lạp cổ đại, tri thức của Hy Lạp về nhiều mặt cũng hòa nhập với tư tưởng phương Đông. Giai đoạn thăng hoa nhất này có lẽ là nhờ vào Euclid – một bậc thầy, “một tác giả sách gíáo khoa thành công nhất mà cả thế giới chưa từng biết”. Ông đã tổng hợp các thành tựu nghiên cứu trước đây thành một tác phẩm tuyệt vời đến nổi nó vượt mặt tất cả các bộ sách giáo khoa lúc bấy giờ. Ngày này, chúng ta biết nó với cái tên “Cơ sở của Hình học” hay bộ sách “Elements”. Bộ sách này gồm 13 quyển:
Sau thời đại của Apolonius, nền Toán học Hy Lạp bắt đầu tiến vào giai đoạn thoái trào, suy thoái dần dần theo nền văn minh Hy Lạp cổ đại. Đây chính là luật “quân bình” trong Đạo gia của Lão Tử, hể “cực dương – cực thịnh” thì ắt sẽ chuyển thành “cực âm – cực suy”. Khi xem xét nền Toán học ở phương Đông lúc bấy giờ, chúng ta có thể nhận thấy rằng đại đa số các công trình còn lưu giữ đến bây giờ cho thấy người Ấn Độ hay Trung Quốc chủ yếu vẫn tính toán, và né tránh lập luận chứng minh.
Tóm lại, các cơ sở toán học của người Babylon được người Hy Lạp kế thừa và sự phát triển độc lập bắt đầu từ khoảng năm 450 trước Công nguyên. Nhờ nền văn minh Hy Lạp cổ đại, Toán học đã chuyển qua giai đoạn chứng minh và xây dựng được nhiều thành tựu rỡ. Nền khoa học mà cụ thể là Toán ở phương Đông vẫn chưa đơm hoa kết quả.
Trong giai đoạn đầu sau công nguyên, Đế quốc La Mã thống trị các vùng đất rộng lớn bao quanh Địa Trung Hải ở châu Âu, Bắc Phi, và Tây Á. Thiết chế và văn hóa của La Mã cổ đại có tầm hưởng sâu sắc và dai dẳng trong nhiều lĩnh vực như ngôn ngữ, tôn giáo, nghệ thuật, kiến trúc, văn học, triết học, pháp luật, và các hình thức chính phủ. Mặc dù có những thành công rực rỡ, nền Toán học của Đế quốc La Mã lại rất kém, không mang lại nhiều đóng góp cho nền tảng lý thuyết. Sau khi Đế quốc sụp đổ, toàn bộ châu Âu bị ngưng trệ về mặt tri thức và những tiến bộ về mặt tư tưởng đi xuống tận đáy cho đến thế kỷ thứ 6.
Trong khi đó, Toán học ở phương Đông lại có nhiều tiến bộ hơn trước đây. Điển hình nhất là ở Ấn Độ, nhiều kết quả có ý nghĩa trong đại số và số học được nghiên cứu ra như tìm ra số pi $(\pi)$, xử lý các phương trình đại số vô định bằng phương pháp Diophantus được giới hạn cho trường hợp nghiệm nguyên dương và âm, phát triển hệ đếm cơ số 10, và ký hiệu cho số zero.
Từ những năm 622, Hồi giáo trở thành một nguồn ảnh hưởng có tính chi phối trong nền Toán học phương Tây. Các vua chúa Hồi giáo rất ủng hộ việc nghiên cứu khoa học, đặc biệt là nghiên cứu thiên văn học và toán học. Nhờ vậy, các học giả Á Rập có nhiều cơ hội học tập, hấp thụ và tổng hợp kiến thức Toán học Hy Lạp và Ấn Độ. Những học giả nổi tiếng có thể được kể đến như Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, hay Omar Khayyám. Đóng góp của các ông là nguồn gốc của “algorithm” (thuật toán), nghiên cứu về các phương trình tuyến tính và bậc hai, hay xác định các nghiệm của phương trình bậc ba như là giao điểm của hai mặt cắt conic. Mãi đến những năm cuối của thế kỷ 11, Toán học Hy Lạp kinh điển mới bắt đầu thâm nhập lại châu Âu. Khi các thành phố mọc thêm khắp châu Âu thì các trường của nhà thờ bắt đầu giành lấy vị trí của mình. Trong thế kỷ 13, những trường đại học đầu tiên của Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples được trao quyền cấp bằng, được Nhà nước và nhà thờ công nhận.
Tóm lại, trong giai đoạn này, châu Âu trong thời kỳ đầu Công nguyên bị trì trệ về mặt tri thức và mãi cho đến cuối thế kỷ 14 mới có thể hồi sinh để ở đầu cho thời kì Phục hưng. Còn nền Toán học phương Đông thì có nhiều thành tựu thể hiện nhiều ý nghĩa trong nghiên cứu số học và đại số.
Từ thế kỷ 15 đến thế kỷ 16, những công trình và thành tựu của các lĩnh vực từng bị che bởi bức màn của Giáo hội Cơ Đốc giáo thì nay đã được khôi phục lại và đưa ra ánh sáng. Giai đoạn này được gọi là thời Phục hưng ở châu Âu nói riêng hay phương Tây nói chung. Những thành tựu như máy in kiểu di động, cùng với sự đẩy mạnh nhiều lĩnh vực đời sống xã hội như giao thương buôn bán, hàng hải và thiên văn địa lý đã thúc đẩy nghiên cứu toán học và ứng dụng. Từ đây, toán học đã đạt được những bước tiến nhảy vọt trong kỹ thuật tính toán.
Một trong những nhà toán học dẫn đầu trong thế kỷ 15 đó là Johannes Müller. Ông có nhiều đóng góp trong dịch thuật các công trình của người Hy Lạp cổ đại về tri thức toán học. Hơn nữa, ông đã để lại cho hậu thế cuốn De triangulis omnimodis, một tuyệt tác về lượng giác. Một điểm đặc biệt trong giai đoạn lịch sử này chính là việc tài liệu sách vở về toán học được thương mại ở mọi nơi. Trong đó nổi tiếng nhất có lẽ là quyển sách tổng hợp của Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, tổng hợp một cách hoàn chỉnh và có hệ thống tất cả kiến thức về số học, đại số, và lượng giác mà con người biết được lúc bấy giờ.
Nhắc đến thời kỳ Phục hưng, chúng ta không thể nào quên được Leonardo da Vinci - một nhà bác học với sự đa tài trong nhiều lĩnh vực như hội họa, điêu khắc, kiến trúc, cơ học, quang học, và sinh học. Đóng góp của ông vào toán học chủ yếu về hình học và ứng dụng của nó vào lĩnh vực nghệ thuật. Bên cạnh Da Vinci, Robert Recorde đã đóng góp cho nền Toán học của Vương quốc Anh bằng bốn quyển sách nổi tiếng và nhờ đó ông được xem là cha đẻ toán học Anh. Tiếp theo đó đến nửa cuối thế 16, một nhà toán học Pháp là François Viète đã mang đến những kỹ thuật tiến bộ về mặt đại số. Sự đóng góp của ông mang lại sự thống nhất về ký hiệu, phát triển phương pháp để tìm lời giải cho các phương trình, và mở rộng các phương pháp của chính ông cho các bài toán lượng giác. Ngày nay, chúng ta sẽ bắt gặp một định lý mang tên ông trong các bài giảng về Toán học phổ thông, định lý Viète.
Tóm lại, trong thời kỳ Phục hưng, cùng với nhiều lĩnh vực khác như âm nhạc, hội họa, lĩnh vực Toán học ở phương Tây đã lấy lại đà phát triển nhờ vào việc tìm lại những thành tựu mà trước đây bị trì trệ và đồng thời phát triển nhiều kỹ thuật tiến bộ về mặt số học hay đại số.
Hoàn cảnh xã hội phương Tây giai đoạn thế kỷ 17 rất biến động, và nguyên nhân của nó chính là chiến tranh và những cuộc cải cách về mặt tư tưởng. Việc chiến tranh triền miên từ chính trị đến tôn giáo, hay từ những quốc gia lớn đến những quốc gia bé đã dẫn đến tình trạng hỗn loạn, nó đòi hỏi con người phải phát triển không ngừng nghỉ trong sáng tạo khoa học kỹ thuật nhằm phục vụ chiến tranh. Sau những cuộc nổi loạn khắp nơi, phương Tây bước đầu tiến vào quá trình bắt đầu cơ khí hóa nhờ vào sự phát triển của các nghiên cứu về động học chuyển động và sự thay đổi. Bên cạnh đó, những cuộc cách mạng tư tưởng diễn ra trên toàn khắp phương Tây (châu Âu lúc bấy giờ), những cái tên tiêu biểu đó có thể kể đến như Martin Luther hay vua Henry VIII cùng con gái. Từ những yếu tố trên, chủ nghĩa hoài nghi trở thành chủ nghĩa phổ biến trong nhiều hệ thống tư tưởng và các khoa học lúc bấy giờ. Nhờ đó, Toán học trong giai đoạn này đã có những thành tựu vượt trội và làm tiền đề cho sự bùng nổ trong các giai đoạn tiếp sau.
Trước hết chúng ta phải nhắc đến John Napier (1550 - 1617). Ông là người đầu tiên đặt nền móng cho lý thuyết logarithm mà được trình bày trong quyển Mirifici Logarith-morum canonis Description và được hoàn thiện hơn bởi Henry Briggs – là một người bạn thân, và là một người đồng nghiệp ông. Tiếp tục ở đất nước Pháp, bốn nhà Toán học xuất chúng được sinh ra. Người đầu tiên chính là nhà triết học-khoa học René Descartes (1596-1650). Những nghiên cứu của ông dựa trên triết lý rằng mọi khoa học đều có sự liên kết với nhau và chìa khóa cho chúng ta hiểu về mối liên kết đó chính là Toán học. Những phương pháp của ông là sự kết hợp của logic, Giải tích (Hình học) của người xưa và Đại số của người hiện đại, và nhờ đó mà hướng nghiên cứu Hình học Giải tích đã ra đời. Bên cạnh Descartes, Pierre de Fermat (1601 - 1665) được xem là một nhà toán học thuần tuý vĩ đại nhất của thế kỷ 17. Ông có một cuộc đời trầm lặng, không phô trương, và ít công bố nhưng ông lại xây dựng được những kiến thức sâu sắc về hình học giải tích, xác suất, (tiền đề của) vi tích phân, và những nghiên cứu về tính chất số nguyên tố. Định lý mang tên ông – Định lý cuối cùng của Fermat hay Định lý Fermat lớn mãi đến năm 1995 đã được giải bởi Andrew Wiles. Nhà toán học xuất chúng thứ ba của đất nước Pháp là Gérard Desargues (1593 - 1662) – cha đẻ của hình học xạ ảnh. Ông có những đóng góp cực kỳ trong nghiên cứu hình học thuần túy. Những nghiên cứu của ông xoay quanh các bài toán xử lý hình học và nghiên cứu phối cảnh, và tri thức này chính là tiền đề của lĩnh vực hình học xạ ảnh (một lĩnh vực có ứng dụng nhiều trong đồ họa máy tính hiện nay).
Trong giai đoạn đầu thế kỷ 17, nền móng của vi tích phân bắt đầu được xây dựng với những viên gạch đầu tiên. Bằng nguyên lý không thể chia hết, giáo sư Toán học Bonaventura Cavalieri đã định ra tiêu chuẩn cho việc so sánh diện tích và thể tích trong hình học. Tiếp sau ông, có hai nhà toán học xuất chúng đã kết hợp nó với hình học giải tích để dựng nên nền móng của vi tích phân ngày nay. Người thứ nhất chính là Issac Newton (1642 – 1722). Ông phát triển lý thuyết về chuyển đổi liên tục (the theory of fluxions) qua ba luận án, sau đó dùng chúng làm cơ sở cho “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). Công trình về toán học của ông mang đến một sự tiến bộ vượt trội trong nghiên cứu phương pháp toán cho vật lý chuyển động mà có ảnh hưởng đến tận ngày hôm nay. Người thứ hai là thiên tài người Đức Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716). Ông có nhiều đóng góp đối với nhiều lĩnh vực trong khoa học kỹ thuật, tôn giáo, và khoa học vật lý – toán học; với toán học, ông đã phát triển độc lập nền tảng vi tích phân đồng thời với Newton.
Tóm lại, hoàn cảnh xã hội trong giai đoạn thế kỷ 17 rất hỗn loạn. Những cuộc chiến tranh và cách mạng tư tưởng chính là những nguyên nhân cho những tiến bộ khoa học kỹ thuật nói chung và Toán học nói riêng. Nhờ vào Newton và Leibniz mà nền tảng của vi tích phân được hình thành mà sau đó được phát triển đến cực thịnh trong hai thế kỷ tiếp sau. Bên cạnh đó, nhờ vào những tài năng xuất chúng của phương Tây mà nhiều hướng mới được hình thành và có nhiều ứng dụng đến tận ngày nay.
Dựa trên nền tảng của Newton và Leibniz, vi tích phân trở thành công cụ chi phối sự phát triển của toán học và vật lý trong thế kỷ 18. Trong thời kỳ này, hàm lượng nghiên cứu chủ yếu tập trung ở các Viện hàn lâm Hoàng gia, còn các trường Đại học chỉ đóng vai trò rất nhỏ trong việc nghiên cứu để tạo ra những tri thức mới.
Ảnh hưởng của những công trình của Leibniz rất sâu sắc đến nhiều nhà toán học cùng thời. Gia đình họ Bernoulli, một trong những gia đình sinh ra tám nhà toán học xuất sắc của thế giới, và hai trong số họ chính là Jacob và Johann Bernoulli có đóng góp rất nhiều trong phát triển nền tảng cho vi tích phân. Công trình của hai ông tập trung vào các dạng đường cong đặc biệt và lý thuyết xác suất.
Johann Bernoulli đã dạy dỗ thành công một học trò, mà sau này được xem là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18, Leonhard Euler (1707-1783). Ông đóng góp cho nền toán học nhân loại gần 900 quyển sách và luận văn – luận án quan trọng trong nhiều lĩnh vực về giải tích, đại số, số học, cơ học, thiên văn và âm nhạc. Đồng thời, ông chính là định hình ký hiệu toán học, công thức lượng giác và phát triển lý thuyết giải tích lên một tầm cao mới. Đồng nhất thức Euler và phương trình Euler là hai công trình thể hiện vẻ đẹp tuyệt mỹ của Toán học và tài năng xuất chúng của ông.
Những nhà toán học Pháp lỗi lạc khác có thể nhắc đến như Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Ông có công rất lớn trong việc sắp xếp lại phần lớn nội dung vi tích phân của Euler và mở rộng nó trong các lý thuyết của lý thuyết số và cơ học. Bên cạnh các nhà toán học xuất chúng khác của nước Pháp, Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), ông có nhiều đóng góp cho Toán ứng dụng mà nổi tiếng nhất là lý thuyết giải tích về xác suất (Théorie analytique des probabilités). Nhìn chung, những công trình của Laplace thường rất thiếu tính chi tiết, và vì thế chúng ta phải mất rất nhiều thời gian để có thể hiểu cái “Vậy đơn giản là…” của ông là gì.
Nhờ vào việc dựa trên nền móng của Leibniz, vi tích phân ở châu Âu rất phát triển bởi lẽ nó dễ dàng áp dụng hơn nhiều so với lý thuyết của Newton. Toán học ở châu Âu, mà cụ thể là Toán học Pháp giữ một vị trí vượt trội so với phần còn lại của phương Tây. Những cố gắng của Jean d’Alembert (1717 – 1783) trong giải quyết các vấn đề của vi tích phân Newton bằng việc đưa ra khái niệm giới hạn nhưng lại không có nhiều ảnh hưởng trong thời điểm bấy giờ.
Tóm lại, trung tâm của Toán học trong giai đoạn thế kỷ 18 nằm ở châu Âu mà trong đó sáng nhất là nước Pháp với những nhà toán học xuất chúng được sinh ra. Họ có đóng góp rất nhiều cho toán học, đặc biệt là lĩnh vực vi tích phân, xác suất và toán học ứng dụng.
Toán học trong thế kỷ 19 tiếp tục phát triển tột độ. Số lượng các công trình nghiên cứu về Toán nhiều hơn gấp trăm nghìn lần so với các giai đoạn trước đây. Hơn nữa, các tài liệu về Toán có độ phong phú cao và phổ biến đối với tất cả mọi người. Nhờ sự phát triển rộng mở như vậy, Toán học đã trở thành một mảnh đất nghiên cứu vô cùng rộng lớn mà một khối óc riêng rẻ không còn đủ sức để có thể thông hiểu hết được các lĩnh vực trong đó nữa, trừ những quái kiệt như Gauss, Riemann, Klein, hay Poincaré.
Trong giai đoạn thế kỷ 19, bối cảnh xã hội ở phương Tây nói chung hay châu Âu đang diễn ra những cuộc cách mạng mà điển hình là sự sụp đổ của chế độ quân chủ chuyên chế - Cách mạng Pháp (1789 – 1799). Từ đây đã có rất nhiều tư tưởng mới được hình thành. Trải qua nhiều thời kỳ phát triển của Toán học nói riêng và hay Triết học nói chung, ta khẳng định chắc chắn rằng nội dung của một học thuyết hay tư tưởng không do con người quy định mà do hoàn cảnh xã hội quyết định.
Trong số những thiên tài lập dị, Evariste Galois (1811 – 1832) bất chấp việc bị giáo dục chính trị nhiều lần và việc phải “vào tù ra khám” thường xuyên, ông vẫn có thể dành nhiều thời gian “quý giá” của mình cho nghiên cứu đại số. Bản thảo nhanh của ông trước khi đi thách đấu súng đã mở ra một ngành nghiên cứu mới cho Toán học, lý thuyết nhóm (Group Theory).
Nhờ vào sự “giải thoát” thành công cho đại số dựa trên những gì còn sót lại của Galois, nghiên cứu đại số đã có những tiến bộ vượt trội. Đầu tiên, William Rowan Hamilton (1805 – 1865) đã khám phá ra quaternion. Sau đó, đại số được tổng quát hóa và đạt đến trừu tượng hóa nhờ Hermann Grassmann (1809 – 1877). Từ đây, trung tâm của Toán học dần chuyển sang Anh quốc với Arthur Cayley (1863 – 1895) với lý thuyết ma trận hay James Joseph Sylvester (1814 – 1897) với lý thuyết bất biến và tổ hợp. Cùng với đại số, lý thuyết nhóm cũng được phát triển và mở rộng hơn nhờ vào Felix Klein (1849 – 1925) với lý thuyết nhóm rời rạc và Marius Sophus Lie (1842 – 1899) với lý thuyết nhóm liên tục.
Bên cạnh lý thuyết đại số, lĩnh vực vi tích phân trong giai đoạn này cũng có nhiều tiến bộ chóng mặt. Khuynh hướng chung trong giới vi tích phân lúc này là việc chứng minh với các lập luận chặt chẽ. Nhà toán học Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) đã đưa ra khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ delta ($\delta$) và epsilon ($\epsilon$), và từ đó định hình, xây dựng và phát triển nền tảng vững chắc cho vi tích phân hay sau này chúng ta gọi đó là giải tích (analysis). Hay Bernhard Riemann (1826 – 1866) phát triển lý thuyết về số phức và đưa ra giả thuyết quan trọng – giả thuyết Riemannian . Nhà toán học Karl Weierstrass (1815 – 1897) làm sáng tỏ nhiều khái niệm quan trọng trong giải tích như hàm số, và đạo hàm. Cùng thời với Weierstrass, Leopold Kronecker (1823 – 1891) là một nhà toán học về lý thuyết số. Ông có nhiều tranh cãi với ý niệm về các dãy vô hạn được thể hiện trong các công trình nghiên cứu của một số nhà toán học lúc bấy giờ. Điển hình nhất trong nghiên cứu ý niệm vô hạn là của Richard Dedekind (1831 – 1916) và Georg Cantor (1845 – 1918).
Ngoài lĩnh vực đại số và giải tích, lĩnh vực hình học cũng bắt đầu có những tiến bộ cách mạng. Ngọn lửa bắt đầu từ nhà toán học người Ý Giovanni Girolamo Saccheri (1667 – 1733). Ông nhận ra vấn đề của hình học Euclid có vấn đề ở “Định đề song song ” nhưng ông đã từ bỏ khi còn một chút nữa thì chân lý đã được sáng tỏ. Đến thế kỷ 19, vào lần lượt các năm 1829, 1832 và 1854, nhờ dựa trên những thành quả của Saccheri mà ba nhà toán học bao gồm Nicolai Lobachevsky (1792 – 1856), János Bolyai (1802 – 1860), và Bernhard Riemann (1826 – 1866), họ đã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách độc lập lẫn nhau. Kể từ đây, hình học đã mở rộng hơn bao giờ hết với n-chiều hoàn toàn cho các không gian metric, và hợp nhất với các lĩnh vực khác như đại số trừu tượng, giải tích để mở rộng và sinh ra các hướng nghiên cứu mới. Đây là xu hướng hợp nhất trong giới toán học hiện giờ. Và dấu ấn sâu đậm nhất cho tinh thần hợp nhất đó là nhờ vào nhà toán học Henri Poincaré (1854 – 1912) với những đóng góp cho số học, đại số, hình học, và gải tích. Ông đã khai sinh ra một ngành học mới, lý thuyết tô-pô và một giả thuyết nổi tiếng. Sau này nó đã được chứng minh bởi nhà toán học Nga lập dị Grigori Yakovlevich Perelma.
Trong giai đoạn thế kỷ 20, sự phát triển của Toán học tăng vọt với một tốc độ cực nhanh, với nhiều những thành tựu liên hệ với nhiều lĩnh vực quan trọng khác nhau.
Vào năm 1900, David Hilbert (1862 – 1943) đã đưa ra danh sách 23 bài toán chưa có lời giải tại Hội nghị các nhà Toán học Quốc tế. Ông cũng là người tiên phong trong việc tiên đề hóa hình học với 21 tiên đề và đưa ra khái niệm không gian Hilbert – một cơ sở của nghiên cứu giải tích hàm hiện nay. Cùng thời điểm này, một nhà toán học thiên tài người Ấn Độ - Srīnivāsa Rāmānujan Iyenga (1887 – 1920) đã phát triển hơn 3000 định lý trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu quan trọng khác nhau như lý thuyết chuỗi (chuỗi phân kỳ, chuỗi siêu hình học) và lý thuyết số nguyên tố.
Trong những năm 1930, Kurt Gödel (1906 – 1978) đưa ra định lý bất toàn. Định lý của ông mở rộng và khẳng định rằng chúng ta không thể tìm thấy chân lý của Toán học (và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân Toán học (của bản thân khoa học đó); cái đúng của Toán học (và của khoa học nói chung) phải tìm ở bên ngoài Toán học (khoa học đó).
Vào năm 1947, Paul Anthony Samuelson (1915 – 2009) công bố “Cơ sở phân tích kinh tế”. Đây được xem là khởi đầu của toán kinh tế đương đại. Sau đó, vào năm 1952, John Anthony Pople (1925 – 2004) đã vận dụng toán trong nghiên cứu hóa học, lập ra công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển những mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Nghiên cứu của ông đánh dấu một bước phát triển mới của phương pháp tính trong hóa học. Và điểm nhấn của toàn bộ thế kỷ 20, Andrew Wiles (1953 - ? ), làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được Định lý lớn Fermat vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.
Tóm lại, sự phát triển của Toán học trong giai đoạn thế kỷ 20 tiếp tục đạt đến một tầm cao mới. Toàn bộ các lĩnh vực mới của toán học như logic toán, tô-pô học, lý thuyết độ phức tạp, và lý thuyết trò chơi đã thay đổi các thể loại câu hỏi mà có thể trả lời được bởi các phương pháp toán học.
Lịch sử Toán học trong phần này được trình theo trình tự thời gian. Các giai đoạn của sự phát triển tri thức của con người gắn liền với sự phát triển của Toán học, từ chất phác và thừa nhận đến lập luận chặt chẽ. Cũng như các lĩnh vực khoa học khác, Toán học sinh ra nhằm phục vụ nhu cầu đời sống con người và nội dung của nó không do con người quy định mà do hoàn cảnh sống khách quan quy định.