Lời đầu tiên, tôi không phải một nhà toán học. Một cách thật vắn tắt, tôi không có nền tảng chính quy về Toán học mà chỉ là những kiến thức cơ bản và liên quan đến ứng dụng. Đối với tôi, toán học rất đẹp đẽ và nó giúp tôi (nói riêng) có thể mô tả về thế giới này. Khi lướt Twitter (X), tôi đã bắt gặp bài báo này và tôi cảm thấy nó hay. Có lẽ tôi cũng đang cần tìm cho mình một lời khuyên và các bạn (người nào đó đọc bài viết của tôi) chắc hẳn sẽ cần.
Các bạn đọc paper gốc tại: Advice to a Young Mathematician
Trong những nội dung phía sau đều là quan điểm cá nhân của tôi dựa trên kinh nghiệm làm việc và cũng phản ánh tính cách cá nhân của tôi, những nhánh của toán học mà tôi nghiên cứu, và phong cách làm việc của tôi. Tuy nhiên, các nhà toán học rất khác nhau trong tất cả các đặc điểm này và bạn nên dựa vào chính bản thân mình. Bạn có thể học từ người khác nhưng phải diễn giải điều mà bạn học được theo cách của bạn. Theo một khía cạnh nào đó, sự độc đáo (tính độc nhất - Originality) có được bằng cách tách khỏi thói quen trong quá khứ.
Một nhà nghiên cứu toán học (research mathematician), giống như một nhà sáng tạo nghệ thuật (nghệ sĩ) vậy, có sự hứng thú một cách nồng nhiệt trong một lĩnh vực và tận tụy hoàn toàn với nó. Nếu không có động lực nội tại (internal motivation) mạnh thì bạn không thể thành công được, tuy nhiên nếu bạn yêu thích toán học thì bạn sẽ cảm thấy thỏa mãn từ việc giải những bài toán khó.
Trong một hay hai năm đầu của việc nghiên cứu, nó rất khó khăn. Có quá nhiều thứ cần phải học. Họ cố gắng nhưng không thành không với những bài toán nhỏ và bắt đầu cảm thấy nghi ngờ về khả năng của chính bản thân mình để chứng minh bất cứ thứ gì. Tôi đã trả qua giai đoạn như thế trong năm thứ hai nghiên cứu của mình, và Jean-Pierre Serre, có lẽ là nhà toán học xuất sắc trong thế hệ của tôi, và ông ấy đã nói với tôi rằng ông ấy cũng đã có đôi lúc dự tính từ bỏ.
Chỉ có những người tầm thường mới tự tin một cách tuyệt đối vào khả năng của mình. Bạn càng giỏi, tiêu chuẩn mà bạn đặt ra cho bản thân càng cao - bạn có thể nhìn xa hơn tầm nhìn trước mắt của mình.
Nhiều nhà toán học tương lai cũng có tài năng và sở thích theo các hướng khác nhau và họ có thể gặp khó khăn khi phải lựa chọn giữa bắt tay theo đuổi sự nghiệp toán học hay theo đuổi một thứ khác. Nhà toán học Gauss vĩ đại được cho là đã dao động giữa toán học và triết học, Pascal từ bỏ toán học ngay từ khi còn nhỏ để theo đuổi thần học (triết học kinh viện), trong khi Descartes và Leibniz cũng là những nhà triết học nổi tiếng. Một số nhà toán học chuyển sang nghiên cứu vật lý như Freeman Dyson, trong khi những người khác như Harish Chandra và Raoul Bott chuyển sang các hướng khác. Bạn không nên nghĩ rằng toán học là một thế giới đóng, và sự tương tác qua lại giữa toán học và các ngành khác là tốt cho cả chính bản thân bạn và cho xã hội này.
Bởi vì toán học đòi hỏi sự tập trung tinh thần cao độ nên áp lực tâm lý có thể rất lớn, ngay cả khi mọi thứ đang diễn ra một cách suôn sẻ. Phụ thuộc vào tính cách cá nhân của bạn mà điều này có thể là một vấn đề chính hoặc chỉ là vấn đề phụ, nhưng mọi người có thể thực hiện một số bước như sau để mà có thể giảm áp lực. Tương tác với các bạn học/ sinh viên trong nhóm; tham gia các bài giảng, seminars, và các hội thảo/ hội nghị; cả hai cách này đều có thể mở rộng tầm nhìn và nhận được sự giúp đỡ từ xã hội xung quanh. Quá nhiều sự cô lập và suy xét nội tâm có thể rất nguy hiểm và thời gian dành cho những cuộc trò chuyện có vẻ nhàn rỗi không thực sự quá là lãng phí như bạn nghĩ.
Vê sự công tác, ban đầu với những người bạn học/ sinh viên hoặc người hướng dẫn của bạn, có nhiều lợi ích và sự hợp tác lâu dài với đồng nghiệp có thể cực kỳ hiệu quả cả về mặt toán học và ở cấp độ cá nhân. Luôn luôn cần có sự suy nghĩ thầm lặng một mình, nhưng điều này có thể được nâng cao và cân bằng bằng cách thảo luận và trao đổi ý kiến với bạn bè.
Những nhà toán học thường được phân loại vào “những người giải toán - problem solvers” hoặc “những nhà lý thuyết - theorists”. Điều này thật sự đúng, có những trường hợp nổi bật rõ nét cho sự phân chia này, ví dụ như Erd˝os và Grothendieck chẳng hạn. Tuy nhiên, hầu hết những nhà toán học đứng ở đâu đó ở giữa sự phân chia này, những công trình nghiên cứu của họ phát triển cả về mặt kỹ thuật phát triển lời giải của bài toán lẫn phát triển một số lý thuyết liên quan. Trên thực tế, một lý thuyết mà không dẫn đến một lời giải cho một bài toán cụ thể thú vị thì hoàn toàn không có giá trị. Ngược lại, bất kỳ bài toán thật sự sâu sắc nào cũng có xu hướng kích thích sự phát triển của lý thuyết cho việc hình thành lời giải cho nó, ví dụ như Định lý cuối cùng của Fermat.
Điều này có ý nghĩa gì với những sinh viên mới bắt đầu? Mặc dù họ phải đọc những quyển sách (books) và các bài báo khoa học (papers),và tiếp thu các khái niệm và kỹ thuật chung (lý thuyết), nhưng trên thực tế, học sinh phải tập trung vào một hoặc nhiều vấn đề cụ thể. Điều này cung cấp một số thứ gì đó để nghiền ngẫm (chew on = nhai đi nhai lại) và để kiểm tra bản chất của người sinh viên. Một định nghĩa bài toán mà người sinh viên theo đuổi và hiểu một cách chi tiết về nó cũng là một chuẩn mực vô giá để đo lường tính hữu ích (utility) và sức mạnh của các lý thuyết sẵn có.
Tùy thuộc vào diễn tiến của việc nghiên cứu, luận án Tiến sĩ có thể loại bỏ phần lớn lý thuyết và chỉ tập trung vào vấn đề thiết yếu, hoặc nó có thể mô tả một ngữ ảnh (bức tranh) rộng hơn mà bài toán khớp vào đó một cách tự nhiên nhất.
Động lực trong nghiên cứu (riving force in research) là lòng tò mò (sự ham muốn hiểu biết). Khi nào một kết quả cụ thể được xem là đúng? Đó có phải là một bản chứng minh, hay một bằng chứng minh nào tự nhiên, hoặc tao nhã hơn chăng? Bối cảnh chung nhất mà kết quả đó thể hiện là gì?
Nếu bạn cứ tự hỏi chính bản thân mình những câu hỏi như vậy khi đọc bất cứ một bài báo hoặc nghe một bài giảng nào, thì sớm hay muộn một phần của câu trả lời sẽ xuất hiện - một con đường khả thi nào đó để khám phát được mở ra.Khi điều này xảy ra với tôi, tôi luôn dành thời gian theo đuổi ý tưởng để xem nó sẽ dẫn đến đâu hoặc liệu nó có đứng vững trước sự xem xét kỹ lưỡng hay không. Chín trên mười lần hóa ra là ngõ cụt, nhưng thỉnh thoảng có một lần trúng vàng. Khó khăn là ở chỗ biết khi nào một ý tưởng ban đầu đầy hứa hẹn trên thực tế lại chẳng đi đến đâu. Ở giai đoạn này người ta phải điều chỉnh những sai sót của họ và quay trở lại đường chính. Thường thì quyết định không rõ ràng và trên thực tế, tôi thường xuyên quay lại ý tưởng đã bị loại bỏ trước đó và thử lại lần nữa.
Trớ trêu thay, những ý tưởng hay có thể xuất hiện một cách bất ngờ từ một bài giảng hoặc buổi hội thảo tồi. Tôi thường thấy mình đang nghe một bài giảng mà kết quả thì tuyệt vời còn cách chứng minh thì xấu xí và phức tạp. Thay vì cố gắng đuổi theo một chứng minh lộn xộn trên chiếc bảng đen kia, tôi dành thời gian nghỉ giải lao một tiếng đồng hồ để suy nghĩ về việc tạo ra một chứng minh tao nhã và đẹp đẽ hơn. Thông thường, không phải luôn luôn, tôi không thành công, thì tôi đã sử dụng thời gian một cách tốt hơn, vì tôi đã suy nghĩ kỹ về vấn đề theo cách riêng của mình. Điều này tốt hơn nhiều so với việc thụ động làm theo lý luận của người khác.
Nếu bạn, giống như tôi, là người thích những khung cảnh rộng lớn và những lý thuyết mạnh mẽ (tôi bị ảnh hưởng nhưng không được Grothendieck chuyển đổi) thì điều cần thiết là có thể kiểm tra các kết quả chung bằng cách áp dụng chúng vào các ví dụ đơn giản. Qua nhiều năm, tôi đã xây dựng được rất nhiều ví dụ như vậy, được rút ra từ nhiều lĩnh vực khác nhau. Đây là những ví dụ mà người ta có thể thực hiện các phép tính cụ thể, đôi khi với các công thức phức tạp, giúp làm cho lý thuyết tổng quát trở nên dễ hiểu. Họ giữ đôi chân của bạn trên mặt đất. Điều thú vị là Grothendieck tránh đưa ra các ví dụ, nhưng may mắn thay, ông có quan hệ mật thiết với Serre, người có thể sửa chữa thiếu sót này. Không có sự phân biệt rõ ràng giữa ví dụ và lý thuyết. Nhiều ví dụ yêu thích của tôi đến từ quá trình học tập ban đầu của tôi về hình học xạ ảnh cổ điển: hình khối xoắn, mặt bậc hai hoặc biểu diễn đường thẳng Klein trong không gian 3 chiều. Không gì có thể cụ thể hay cổ điển hơn và tất cả đều có thể được xem xét về mặt đại số và hình học, nhưng mỗi trường hợp đều minh họa và là trường hợp đầu tiên trong một lớp lớn các ví dụ mà sau này trở thành một lý thuyết: lý thuyết về đường cong hữu tỉ (theory of rational curves), lý thuyết về không gian đồng nhất (theory of homogeneous spaces), hoặc lý thuyết về Grassmannians (theory of Grassmannians).
Một khía cạnh khác của các ví dụ là chúng có thể dẫn đến những hướng khác nhau. Một ví dụ có thể khái quát hóa theo nhiều cách khác nhau hoặc minh họa một số nguyên tắc khác nhau. Ví dụ, hình nón cổ điển là một đường cong hữu tỉ (rational curve), một bậc hai (quadric) và một Grassmannian tất cả trong một.
Nhưng trên hết tất cả những ví dụ tốt là một thứ gì đó đẹp đẽ. Nó tỏa sáng và thuyết phục. Nó mang lại cái nhìn sâu sắc và hiểu biết. Nó là bệ đá của niềm tin.
Tất cả chúng ta đều được dạy rằng “chứng minh” là đặc điểm trung tâm của toán học, rằng hình học Euclide với các tiên đề và mệnh đề được sắp xếp cẩn thận đã cung cấp khuôn khổ thiết yếu cho tư duy hiện đại kể từ thời Phục hưng (Renaissance). Các nhà toán học tự hào về sự chắc chắn tuyệt đối, so với những bước đi ngập ngừng của các nhà khoa học tự nhiên chứ chưa nói đến lối suy nghĩ mơ hồ của các lĩnh vực khác.
Đúng là, kể từ Godel, sự chắc chắn tuyệt đối đã bị xói mòn, và cuộc tấn công trần tục hơn của các chứng minh bằng máy móc dài vô tận đã tạo ra một số khiêm tốn. Bất chấp tất cả những điều này, chứng minh vẫn giữ vai trò quan trọng trong toán học và một lỗ hổng nghiêm trọng trong lập luận của bạn sẽ khiến bài báo của bạn bị từ chối.
Tuy nhiên, sẽ là rất sai lầm nếu nhận định quá trình nghiên cứu toán học là quá trình tạo ra các chứng minh. Trên thực tế, người ta có thể nói rằng tất cả những khía cạnh của nhgiên cứu toán học thật sự ở trước sân khấu chứng minh. Để đưa ẩn dụ về “sân khấu” đi xa hơn, bạn phải bắt đầu từ ý tưởng, phát triển cốt truyện, viết lời thoại và đưa ra hướng dẫn về sân khấu. Quá trình tạo ra có thể được xem thật sự là “chứng minh”: việc thực hiện hóa một ý tưởng.
Trong toán học, các ý tưởng và khái niệm xuất hiện trước, sau đó mới đến các câu hỏi và bài toán. Ở giai đoạn này, quá trình tìm kiếm giải pháp bắt đầu, người ta tìm kiếm một phương pháp hoặc chiến lược. Khi bạn đã thuyết phục bản thân rằng vấn đề đã được đặt ra hợp lý và bạn có công cụ phù hợp cho công việc, bạn sẽ bắt đầu suy nghĩ kỹ về tính kỹ thuật của chứng minh.
Chẳng bao lâu sau, bạn có thể nhận ra, có lẽ bằng cách tìm ra các phản ví dụ, rằng bài toán đã được phát biểu không đúng. Đôi khi có một khoảng cách giữa ý tưởng trực quan ban đầu và việc hình thức hóa nó. Bạn đã bỏ qua một số giả định ẩn giấu, bạn bỏ qua một số chi tiết kỹ thuật, bạn đã cố gắng quá chung chung. Sau đó, bạn phải quay lại và tinh chỉnh cách hình thức hóa bài toán của mình. Sẽ là một sự cường điệu không công bằng khi nói rằng các nhà toán học đặt câu hỏi của họ để họ có thể trả lời chúng, nhưng chắc chắn có một phần sự thật trong tuyên bố đó. Nghệ thuật trong toán học tốt, và toán học là một nghệ thuật, là xác định và giải quyết các vấn đề vừa thú vị vừa có thể giải được.
Chứng minh là sản phẩm cuối cùng của sự tương tác lâu dài giữa trí tưởng tượng sáng tạo và lý luận phản biện. Nếu không có chứng minh thì chương trình vẫn chưa hoàn thiện, nhưng nếu không có đầu vào giàu trí tưởng tượng thì chương trình sẽ không bao giờ được bắt đầu. Ở đây người ta có thể thấy sự tương đồng với công việc của nghệ sĩ sáng tạo trong các lĩnh vực khác: nhà văn, họa sĩ, nhà soạn nhạc hoặc kiến trúc sư. Tầm nhìn xuất hiện trước tiên, nó phát triển thành một ý tưởng được phác thảo sơ bộ và cuối cùng là quy trình kỹ thuật dài để dựng lên tác phẩm nghệ thuật. Nhưng kỹ thuật và tầm nhìn phải được giữ liên hệ, mỗi cái đều sửa đổi cái kia theo quy tắc riêng của nó.
Trong phần trước tôi đã thảo luận về triết lý chứng minh và vai trò của nó trong toàn bộ quá trình sáng tạo. Bây giờ ta trở lại câu hỏi muôn thuở mà những người trẻ quan tâm. Đâu là chiến lược nên được áp dụng? Bạn giải quyết như thế nào trong việc tìm kiếm một chứng minh?
Một cách trừu tượng (tổng quát), câu hỏi này có ít ý nghĩa. Giống như tôi đã giải thích trong phần trước, một bài toán (vấn đề) luôn luôn có những tiền đề: nó phát sinh từ một số kiến thức nền tảng, nó có các điểm nguồn gốc (roots). Các bạn nên hiểu các điểm nguồn gốc này để mà thấy được một tiến trình. Điều đó là lý do tại sao nó luôn luôn tốt để tìm kiếm bài toán của chính bản thân các bạn, hỏi các hỏi do chính bản thân các bạn đặt, thay vì thu nhặt nó từ trên một chiếc đĩa dọn sẵn từ người thầy (người hướng dẫn) của các bạn. Nếu các bạn biết được một bài toán đến từ đâu, tại sao câu hỏi đó được hỏi, thì bạn đi được một nữa con đường đến lời giải của nó. Sự thật là, việc hỏi một câu hỏi đúng đắn thường khó khăn giống như đi tìm câu trả lời cho nó vậy. Tìm kiếm một ngữ cảnh đúng đắn chính là một bước đầu ý nghĩa.
Thế nên, tóm lại là, các bạn cần phải có một kiến thức tốt về lịch sử của bài toán. Các bạn nên biết các loại phương pháp nào đã được áp dụng với những bài bài toán tương tự và đâu là giới hạn của chúng.
Điều này là một ý tưởng tốt để bắt đầu suy nghĩ nghiêm túc thật kỹ càng về một bài toán ngay khi bạn đã và đang tiếp xúc với nó. Để nắm chặt nó, không có một sự thay thế nào cho tiếp cận thực hành. Các bạn nên khám phá những trường hợp đặc biệt và cố gắng tìm kiếm đâu là những vấn đề khó khăn cốt yếu. Các bạn càng hiểu về những nền tảng lý thuyết và những phương pháp trước đây, thì bạn có càng nhiều những kỹ thuật và phương pháp giải quyết. Mặc khác, sự thiếu hiểu biết đôi khi lại niềm hạnh phúc. J.E. Littlewood đã phân bố từng nhóm các sinh viên của ông ấy để nghiên cứu trên một phiên bản ẩn của giả thuyết Riemann, và cho họ biết được sau sáu tháng nghiên cứu. Ông chỉ ra được rằng những sinh viên không đủ tự tin để giải quyết một bài toán nổi tiếng, nhưng có thể giúp họ bằng cách không đưa bất kỳ thông tin gì về bài toán đó cả. Chiến lược này có thể không dẫn ra được một bài chứng minh cho giả thuyết Riemann, nhưng nó thực sự đánh thức sự kiên trì và quyết tâm nội tại bên trong những sinh viên.
Tiếp cận của chính bản thân tôi là cố gắng tránh những sự tấn công trực tiếp vào bài toán và tìm kiếm những hướng tiếp cận gián tiếp. Điều này liên quan đến việc liên kết bài toán của các bạn với những ý tưởng và kỹ thuật từ những lĩnh vực nghiên cứu khác nhau mà có thể dẫn đến những lóe sáng không thể ngờ đến. Nếu chiến lược này thành công, nó có thể mở ra một bản chứng minh gọn gàng và đẹp đẽ. Thực sự mà nói, tôi tin rằng việc tìm kiến một lời giải thích, cho sự hiểu biết, chính là điều mà chúng ta thực sự mong muốn. Chứng minh chỉ đơn giản là một phần của quá trình, và thỉnh thoảng là hệ quả của nó.
Như một phần của việc tìm kiếm cho những phương pháp mới, nó là một ý tưởng hay ho để mở rộng tầm nhìn của các bạn. Nói chuyện với mọi người sẽ mở rộng trình độ tổng thể của bạn và sẽ đôi khi cho các những ý tưởng và kỹ thuật mới. Và sẽ thỉnh thoảng bạn có thể tạo ra một ý tưởng từ chính nghiên cứu của các bạn hoặc là một hướng mới.
Nếu các bạn cần học một thứ gì đó mới, hãy tham khảo các tài liệu nhưng, tốt hơn là, tìm một chuyên gia thân thiện và xin những hướng dẫn “từ miệng ngựa - from the horse’s mouth” - nó mang lại cái nhìn sâu sắc hơn một cách nhanh chóng hơn.
Cũng như kỳ vọng, và cảnh giác với những tiến bộ mới, các bạn cũng nên buông bỏ quá khứ. Nhiều những kết quả toán học tuyệt vời từ những thời kỳ sớm bị chôn vùi và bị quên lãng, và chỉ được đưa ra ánh sáng chỉ khi mà chúng được tìm lại một cách hoàn toàn độc lập. Những kết quả này không dễ để tìm thấy, bởi vì phong cách và thuật ngữ thay đổi phần nào, nhưng chúng có thể là những viên ngọc giá trị. Thông thường với những việc học quý giá, các bạn nên cảm thay may mắn khi nắm được chúng, và phần thưởng đó thuộc về những người tiên phong.
Ở thời điểm bắt đầu việc nghiên cứu của các bạn, mối quan hệ với người hướng dẫn có thể quan trọng, thế nên phải lựa chọn một cách cẩn thật, ghi nhớ trong đầu vấn đề, tính cách cá nhân, và những thông tin lịch sử. Có rất ít người người dẫn tốt cả ba điều này. Hơn nữa, nếu mọi thứ không ổn trong suốt năm đầu hay những năm sau đó, hay nếu những mối quan tấm của các bạn phân rẻ một cách đáng kể, thì đừng nên vội vàng thay đổi người hướng dẫn hay cho dù cả trường đại học. Người hướng dẫn của bạn sẽ không bị xúc phạm và thậm chí còn có thể cảm thấy nhẹ nhõm!
Thỉnh thoảng, các bạn có thể là một phần của một nhóm lớn và có thể tương tác với những thành viên khác của khoa, thế nên bạn thật sự có nhiều hơn một người hướng dẫn. Điều này có thể giúp ích nhiều, nó cho bạn những góc nhìn khác nhau và những trạng thái làm việc khác nhau. Các bạn cũng có thể học được rất nhiều từ những sinh viên khác trong những nhóm lớn mà đó là lý do tại sao việc chọn một bộ môn với một lực lượng sau đại học hùng hậu là một ý tưởng hay ho.
Khi các bạn thành công bảo vệ và có được bằng Tiến sĩ (Ph.D), các bạn sẽ bắt đầu một giai đoạn mới. Mặc dù, các bạn có thể vẫn hợp tác với người hướng dẫn của mình và tiếp tục là một phần của nhóm nghiên cứu, điều đó vẫn ổn cho sự phát triển tương lại của các bạn để có thể đến một nơi nào đó khác trong một hoặc vài năm tới. Đây là lúc bạn có cơ hội tạo dựng cho mình một chỗ đứng riêng trong thế giới toán học. Nói chung, nó không phải một ý hay để tiếp tục một đường thẳng của luận án Tiến sĩ trong một quãng thời gian dài. Các bạn nên cho thay khả năng độc lập của chính mình bằng cách lan tỏa ra những hướng khác. Nó không cần phải là một sự thay đổi triệt để về hướng đi nhưng phải có một số điểm mới mẻ rõ ràng và không chỉ đơn giản là sự tiếp tục luận điểm của các bạn theo thói quen.
Trong quá trình viết luận án, người hướng dẫn của bạn sẽ thường hỗ trợ bạn trong phong cách trình bày và tổ chức. Nhưng việc định hình một phong cách cá nhân là một điều quan trọng của quá trình phát triển toán học của chính bản thân bạn. Mặc dù những thứ cần thiết có thể khác nhau, phụ thuộc vào lĩnh vực toán học, nhiều những khía cạnh là giao nhau giữa tất cả các lĩnh vực. Dưới đây là một số gợi ý về cách để viết một bài báo khoa học tốt:
Trên đây là bản dịch tiếng Việt của bài báo “Advice to a Young Mathematician” - Michael Atiyah. Cảm ơn ông vì một bài báo ngắn gọn, và đầy ý nghĩa cho một người mới bắt đầu quay trở lại con đường học Toán. Hy vọng đây sẽ là hành trang khởi đầu cho con người phát triển Toán học của bản thân tôi trong thời gian sắp với. Không chỉ riêng chính bản thân tôi, hy vọng ai đó đọc bài viết của Giáo sư cũng có thể có một góc nhìn mới, tìm ra cho mình một hướng đi thật đúng Đạo.